Persamaan Eksponen | Materi dan Bentuk Bentuk

Persamaan Eksponen sebenarnya mirip dengan persamaan aljabar yang sering kamu jumpai di sekolah atau soal.

Namun, dalam persamaan eksponen kita bermain dengan variabel yang posisinya sebagai eksponen.

Bingung?

Mari kita bahas.

Memahami Persamaan Eksponen

Persamaan aljabar yang sering kamu jumpai biasanya bentuknya seperti $2x = 4$.

Sedangkan kalau persamaan eksponen itu bentuknya seperti $2^{x} = 4$.

Nampak bedanya kan?

Kalau $2x = 4$, variabel x nya tidak sebagai eksponen atau pangkat. Berbeda dengan $2^{x} = 4$ yang x nya sebagai eksponen.

Jadi, bagaimana cara mengerjakannya?

Bentuk Bentuk Persamaan Eksponen

Untuk menyelesaikan soal persamaan eksponen, kamu harus memahami dulu bentuk-bentuk dari persamaan eksponen itu.

Kita akan membahas berbagai bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikannya;. Kita juga akan menggunakan contoh soal, agar lebih mudah dipahami.

Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Bentuk persamaan eksponen ini memiliki basis yang sama.

Kalau basis atau bilangan pokoknya udah sama, maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x).

Contohnya $2^{2x-7} = 2^{1-x}$

Soal di atas kita bisa selesaikan dengan menyamakan pangkatnya karena basisnya sudah sama.

Sehingga soal tersebut bisa kita selesaikan dengan cara seperti berikut

$2^{2x-7} = 2^{1-x}$

$2x-7 = 1-x$ (Persamaan pangkat)

$2x + x = 1 + 7$

$3x = 8$

$x = \dfrac{8}{3}$

Bagaimana kalau kasusnya seperti ini

$3^{2x-7} = 27^{1-x}$

Jangan langsung bingung. Kita bisa melihat kalau 27 itu kan $3^3$ jadi kita masih bisa menggunakan cara seperti yang kita lakukan tadi.

$3^{2x-7} = 27^{1-x}$

$3^{2x-7} = 3^{3(1-x)}$

$3^{2x-7} = 3^{3-3x}$

$2x-7 = 3-3x$

$2x + 3x = 3 + 7$

$5x = 10$

$x = 2$

Bentuk a^f(x) = b^f(x)

Bentuk ini berbeda dengan bentuk yang kita bahas tadi. Bentuk persamaan eksponen ini memiliki basis atau bilangan eksponen yang berbeda.

Tapi kamu harus melihat kalau bentuk yang ini memiliki fungsi eksponen yang sama.

Jadi kalau fungsi eksponen atau pangkatnya beda, beda cerita lagi. Nanti kita akan bahas di bagian selanjutnya.

Kalau basisnya berbeda sedangkan pangkatnya sama, maka penyelesaiannya adalah fungsi eksponennya bernilai 0.

Kalau dinotasikan, menjadi seperti ini.

$a^{f(x)} = b^{f(x)}$, penyelesaiannya $f(x)=0$

Kenapa harus 0?

Karena kalau bilangan berapapun jika dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya pasti 1.

Sehingga memenuhi persamaan.

$a^{f(x)} = b^{f(x)}$

$a^{0} = b^{0}$

$1 = 1$

Mari terjun ke contoh soalnya.

Contohnya $2^{x-2} = 3^{x-2}$

Soal di atas bisa kita selesaikan dengan cara seperti berikut

$2^{x-2} = 3^{x-2}$

$x-2 = 0$

$x = 2$

Mudah kan?

Tapi ada juga soal yang suka menjebak kamu. Contohnya seperti ini.

$4^{2x-2} = 7^{x-1}$

Mungkin kamu sekilas melihat, basisnya berbeda dan pangkatnya juga berbeda.

Di sini kamu harus jeli. Jangan langsung stress karena pembuat soal akan merasa berhasil jika kamu stress. Hehe bercanda.

Di persamaan $4^{2x-2} = 7^{x-1}$. Kamu harus melihat kalau 2x-2 itu sebenarnya 2(x-1).

Jadi kita bisa membuatnya seperti ini.

$4^{2x-2} = 7^{x-1}$

$4^{2(x-1)} = 7^{x-1}$

$16^{x-1} = 7^{x-1}$

Pangkatnya sudah sama kan? Berarti kita bisa deh melanjutkannya seperti cara yang sudah kita bahas tadi.

$16^{x-1} = 7^{x-1}$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Gimana? Mudah bukan?

Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Di bentuk ini, kita bisa melihat kalau tidak ada yang sama.

Baik basisnya ataupun pangkatnya.

Jadi ngerjainnya gimana?

Untuk mengerjakannya kita harus menggunakan logaritma.

Kalau kamu belum paham logaritma, silahkan baca dulu artikel [[Logaritma]] supaya kamu bisa memahami cara mengerjakan bentuk persamaan eksponen ini.

Kalau kamu sudah mengerti logaritma, mari kita lanjut.

Jadi kalau bentuknya basis tidak sama dan pangkatnya juga tidak sama, kita bisa logaritma kedua ruas.

Di buku-buku sekolah sering ditulis seperti ini.

Kalau $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ maka $log a^{f(x)} = log b^{g(x)}$

Kalau paham maksudnya apa, mari kita bahas contoh soalnya saja langsung.

Contohnya $3^x = 7^{1-x}$

Kita bisa menyelesaikannya dengan cara seperti ini.

$3^x = 7^{(1-x)}$

$log(3^x) = log(7^{1-x})$

$x \, log(3) = 1-x \, log(7)$

$x \, log(3) = log(7) - x \, log(7)$

$x \, log(3) + x \, log(7) = log(7)$

$x \, (log(3) + \, log(7)) = log(7)$

Ingat: log a + log b = log (ab)

$x \, log(21) = log(7)$

$x = \dfrac{log(7)}{log(21)}$

$x = \, ^{21}log(7)$

Intinya, kalau bentuknya sudah seperti ini, kamu harus memahami konsep logaritma.

Bentuk f(x)^g(x) = 1

Berbeda dengan bentuk sebelum-sebelumnya yang basisnya berupa konstanta, di bentuk ini basisnya bukan hanya konstanta saja. Tapi juga mengandung variabel.

Jadi ada beberapa kondisi yang memenuhi untuk bentuk ini. Diantaranya:

• g(x) = 0 dengan syarat f(x) $\neq$ 0
• f(x) = -1 dengan syarat g(x) akan bernilai genap
• f(x) = 1

Pusing? Kita bahas satu per satu.

g(x) = 0 dengan syarat f(x) $\neq$ 0

Mengapa? Coba lihat bentuk persamaan yang kita punya tadi

f(x)^g(x) = 1

Kalau f(x)nya bukan 0, maka g(x) nya harus bernilai 0.

Karena bilangan berapapun yang dipangkat dengan 0 maka hasilnya adalah 1.

Kecuali 0. Karena 0⁰ hasilnya bukan 1, tapi tak terdefinisi.

f(x) = -1 dengan syarat g(x) akan bernilai genap

Lihat lagi bentuk persamaan yang kita punya tadi.

f(x)^g(x) = 1

Kalau f(x) nya adalah -1, maka g(x) haruslah genap.

Hal ini dikarenakan jika -1 dipangkatkan dengan bilangan genap, maka hasilnya adalah 1. Kalau dipangkatkan dengan bilangan ganjil, maka hasilnya adalah -1.

f(x) = 1

Hal ini jelas, karena jika basisnya adalah 1, mau dipangkatkan berapapun hasilnya pasti 1.

Oke, kalau sudah mengerti ketiga poin tadi, mari kita bahas contoh soal bentuk persamaan eksponen seperti ini.

Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari $(x + 1)^{x-1} = 1$

Solusi 1: f(x) = 1

f(x) = 1

x + 1 = 1

x = 0

Solusi 2: f(x) = -1 dengan syarat g(x) bernilai genap

f(x) = -1

x + 1 = -1

x = -2

Kemudian kita harus cek apakah g(x) bernilai genap dengan memasukkan x yang kita dapat tadi.

g(x) = x - 1

g(-2) = -2 - 1

g(-2) = -3

Tidak memenuhi. x=-2 bukanlah sebuah solusi karena jika x=-2 g(x) bernilai ganji yaitu -3.

Solusi 3: g(x) = 0 dengan syarat f(x) $\neq$ 0

g(x) = 0

x-1 = 0

x = 1

Kita cek apakah dengan x = 1, f(x) $\neq$ 0

f(x) = x + 1

f(1) = 1 + 1

f(1) = 2

Memenuhi. Karena f(x) tidak sama dengan 0

Sehingga dari ketiga solusi yang kita coba selesaikan tadi, kita mendapat himpunan penyelesaiannya x={0, 1}

Memang penyelesaiannya lebih panjang dari bentuk-bentuk sebelumnya. Tapi dengan sering latihan, kamu bisa mengerjakannya lebih cepat.

Yang penting, kamu sudah mengetahui konsepnya dulu. Lanjut…

Bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x)

Bentuk persamaan eksponen ini memiliki basis atau bilangan pokok yang berbeda, tapi memiliki pangkat yang sama.

Jika bentuknya seperti ini, ada 3 solusi yang bisa kamu gunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari soal persamaan eksponen dengan bentuk seperti ini.

• f(x) = g(x)
• f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) bernilai genap
• h(x) = 0 dengan syarat f(x) $\neq$ 0 dan g(x) $\neq$ 0

Mari kita bahas satu per satu.

f(x) = g(x)

Karena pangkatnya sama, kita bisa menyamakan basisnya. Sehingga persamaan bernilai benar.

f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) bernilai genap

Ini mirip seperti yang kita bahas sebelumnya.

Ingat kalau bilangan negatif jika dipangkatkan dengan bilangan genap, maka akan menjadi bilangan positif.

Contohnya gini. 2^x = -2^x akan bernilai benar jika x nya adalah bilangan genap.

Contohnya 2. Jika kita memasukkannya ke 2^x = -2^x, maka hasilnya menjadi 4 = 4.

Benarkan?

h(x) = 0 dengan syarat f(x) $\neq$ 0 dan g(x) $\neq$ 0

Ini juga mirip seperti yang tadi kita bahas.

Kalau basis di kedua ruas bukan 0 dan kedua ruas dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya menjadi 1 = 1.

Langsung kita terjun ke contoh soalnya.

Tentukan HP dari $(3x + 2)^(x-5) = (x + 5)^(x-5)$.

Kalau soalnya gini, kita bisa mengerjakannya dengan 3 solusi yang kita bahas tadi.

Solusi 1: f(x) = g(x)

3x + 2 = x + 5

2x = 3

x = $\dfrac32$

Solusi 2: f(x) = -g(x)

3x + 2 = -(x + 5)

3x + 2 = -x - 5

4x = -7

x = $-\dfrac74$

Kita cek, apakah h(x) bernilai genap

h(x) = x - 5

$h(-\dfrac74) = -\dfrac74 - 5$

$h(-\dfrac74) = -\dfrac{27}{4}$

Tidak memenuhi. Karena jika x = $-\dfrac74$, h(x) bukanlah bilangan genap.

Solusi 3: h(x) = 0

h(x) = 0

x - 5 = 0

x = 5

Kita cek apakah basisnya tidak sama dengan 0

f(x) = 3x + 2

f(5) = 3(5) + 2

f(5) = 17

g(x) = x + 5

g(5) = 5 + 5

Setelah di cek, x = 5 Memenuhi. Karena f(x) dan g(x) tidak sama dengan 0

Dari ketiga penyelesaian yang sudah kita lakukan, kita mendapatkan himpunan penyelesaiannya yaitu x = {$\dfrac32$, 5}

Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Dalam bentuk ini, basisnya sama sedangkan pangkatnya berbeda.

Kalau bentuknya seperti ini, penyelesaiannya yaitu:

• g(x) = h(x)
• f(x) = 1
• f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) harus sama sama genap atau sama sama ganjil
• f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus positif

Mari kita bahas

g(x) = h(x)

Karena basisnya sudah sama, maka kita harus menyamakan pangkatnya agar persamaan bernilai benar.

f(x) = 1

Kalau basisnya 1, mau pangkat berapapun pasti hasilnya 1. Sehingga persamaan bisa bernilai benar 1 = 1

f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) harus sama sama genap atau sama sama ganjil

Kalau basisnya 1, mau pangkat berapapun hasilnya 1. Tapi sekarang basisnya -1.

Jadi pangkat di kedua ruas harus sama sama ganjil atau sama sama negatif. Walaupun nilai berbeda, itu tak masalah.

f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus positif

Mungkin kamu akan bertanya kenapa harus positif.

Hal ini karena kalau 0 dipangkatkan dengan bilangan negatif, hasilnya tak terdefinisi.

Bingung? Berarti kamu belum membaca artikel Sifat Sifat Eksponen dan Alasannya. Di artikel tersebut, sudah dijelaskan mengapa 0⁰ hasilnya menjadi tak terdefinisi. Begitu juga dengan 0 pangkat bilangan negatif

Supaya lebih jelas, mari kita bahas contohnya

Tentukan himpunan penyesalan penyelesaian dari$(x - 4)^{1+2x} = (x - 4)^{3x}$

Dari soal di atas, kita bisa mencari nilai x yang sesuai dengan menggunakan 4 solusi yang sudah kita bahas tadi.

Solusi 1: g(x) = h(x)

1+2x = 3x

1 = x atau x = 1

Solusi 2: f(x) = 1

x - 4 = 1

x = 5

Solusi 3: f(x) = -1

x - 4 = -1

x = 3

Kita cek dulu apakah g(x) dan h(x) sama sama positif atau negatif nilai x adalah 3?

g(x) = 1+2x

g(3) = 1+2(3)

g(3) = 1+6

g(3) = 7 (Ganjil)

h(x) = 3x

h(3) = 3(3)

h(3) = 9 (Ganjil)

Berarti x = 3 Memenuhi karena g(x) dan h(x) sama sama ganjil.

Solusi 4: f(x) = 0

f(x) = 0

x - 4 = 0

x = 4

Kita cek apakah dengan x = 4, g(x) dan h(x) bernilai positif.

g(x) = 1+2x

g(4) = 1+2(4)

g(4) = 1+8

g(4) = 9 (Positif)

h(x) = 3x

h(4) = 3(4)

h(4) = 12 (Positif)

Berarti penyelesaian x = 4 Memenuhi. Karena dengan nilai x=4, g(x) dan h(x) bernilai positif.

Sekian artikel tentang Persamaan Eksponen ini, semoga dapat membuat kalian semua paham materi ini.

Semoga bisa menjadi referensi kalian dalam belajar. Dan jangan lupa share ke teman kalian juga. Supaya kalian bisa belajar bersama. Terima kasih