Fungsi Eksponen, Grafik Eksponen dan Contoh Soal

Di artikel sebelumnya kita telah menyinggung topik fungsi eksponen.

Sekarang kita akan membahas beberapa topik tentang fungsi eksponen.

Pengertian Fungsi Eksponen

Sebuah fungsi dengan $f(x)=a^x$ dengan $a>0$, $a \ne 1$, dan $x \epsilon R$ disebut fungsi eksponen.

Sederhananya, syarat untuk sebuah eksponen adalah jika fungsi tersebut mempunyai pangkat berupa variabel dan basisnya lebih besar dari 1.

Grafik Fungsi Eksponen

Dengan fungsi ekponen $f(x)=a^x$ dengan $a>0$, $a \ne 1$, dan $x \epsilon R$, jika nilai a > 0 maka grafik fungsinya

Beda lagi kalau nilai a nya berupa pecahan. Kalau a nya berupa pecahan atau ditulis 0 < a < 1 maka grafik fungsinya seperti ini.

Sifat Sifat Grafik Fungsi Eksponen

• Kurva selalu terletak diatas sumbu x
• Mempunyai asimtot datar Y = 0
• Memotong sumbu y hanya dititik (0,1)
• Dari kiri kekanan, monoton naik untuk a > 1
• Dari kiri kekanan, monoton turun untuk 0 < a < 1

Mari kita bahas satu per satu...

Kurva selalu terletak diatas sumbu x

Walaupun grafik 0 < a < 1 selalu turun, bukan berarti grafik itu akan selalu turun sampi berada di bawah sumbu x.

Grafik itu tidak akan pernah menyentuh sumbu x. Gak percaya?

Coba cari pangkat berapa yang hasilnya 0? Dengan syarat basisnya tidak boleh 0 atau 1 ya.

Tidak ada kan?

Begitu juga dengan grafik a > 1. Semakin ke kiri memang semakin turun, tapi itu tidak akan menyentuh sumbu x.

Karena grafik tersebut tidak akan pernah tepat menyentuh sumbu x, maka dikatakan asimtot dari grafik tersebut adalah y = 0.

Kan y=0 adalah sumbu x.

Tahu asimtot? Asimtot adalah suatu garis yang dituju sebuah grafik yang jaraknya mendekati 0 tetapi tidak akan pernah menyentuhnya.

Memotong sumbu y hanya dititik (0,1)

Mau berapa pun basisnya asalkan bukan 0 dan 1, pasti kalau dipangkat 0 hasilnya pasti 1.

Jadi $y=a^x$ dengan x adalah 0 maka nilai y pasti akan selalu 1.

Dari kiri kekanan monoton naik untuk a > 1

Ini jelas ya. Kalau basisnya berupa bilangan bulat positif, semakin besar pangkatnya maka hasilnya akan semakin besar.

Dari kiri kekanan monoton turun untuk 0 < a < 1

Tahu kenapa?

Kalau basisnya berupa pecahan dipangkatkan, berarti pembilang dan penyebutnya ikut dipangkatkan kan?

Yang sifat ini loh

• $(\frac{a}{b})^{n} = (\frac{a^n}{b^n})$

Nah kalau terus dipangkatkan, nilai penyebut bisa menjadi lebih dari pembilang

Begitu terus sehingga nilai dari grafik akan menjadi menurun dari kiri kenan.

Nggak percaya? Oke kita bahas dengan contoh

Kalau $(\frac{1}{2}$ kita pangkat 2 terus, nilainya menjadi seperti ini

1.  $\frac{1}{2}$ awal
2.  $\frac{1}{4}$
3.  $\frac{1}{8}$
4.  $\frac{1}{64}$
5. .... begitu seterusnya

Lebih besar mana, $(\frac{1}{2}$ atau $(\frac{1}{64})$?

$(\frac{1}{64})$ kan? Karena itulah nilainya nanti terus menurun. 

Contoh Soal Fungsi Eksponen

Berikut adalah beberapa contoh soal fungsi eksponen dan pembahasannya. Semoga bermanfaat

Nomor 1

$f(x)=2 \cdot 3^{1-x}$ melalui titik

• $\left(2, \dfrac13\right)$
• $\left(2, \dfrac23\right)$
• $\left(2, \dfrac43\right)$
• $(2, -3)$
• $(2, -6)$

Nomor 2

Daerah hasil dari $f(x)=3^{2-9x}-4$ adalah

• $\{y~|~y>-4\}$
• $\{y~|~y>-2\}$
• $\{y~|~y>0\}$
• $\{y~|~y>3\}$
• $\{y~|~y>4\}$

Nomor 3

Diketahui kurva $y = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$. Tentukan jarak kedua titik potong dengan sumbu-$X$

• 2
• 3
• 4
• 7
• 6

Nomor 4

Jika $f(x)=4^{x+1}$, maka $f(a+b)= ...$

• $f(a) \cdot f(b)$
• $f(a)+f(b)$
• $4f(a) \cdot f(b)$
• $\dfrac14f(a) \cdot f(b)$
• $\dfrac{1}{16}f(a) \cdot f(b)$

Pembahasan Soal Fungsi Eksponen

Nomor 1

Dari pilhan soal kita tahu bahwa absis atau x adalah 2. Kita tinggal masukin x nya 2. Jadinya :

$f(x)=2 \cdot 3^{1-x}$

$f(2)=2 \cdot 3^{1-2}$

$f(x)=2 \cdot 3^{-1}$

$f(x)=2 \cdot \dfrac13$

$f(x)=\dfrac23$

Nomor 2

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu tahu kalau hasil pangkat hasilnya selalu >0. Jadinya :

$f(x) > 0 - 4 $

$f(x) > 4 $

Nomor 3

Jika memotong sumbu x, maka nilai y haruslah 0. Menjadi :

$y = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$

$0 = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$

$2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2 = 0$

$2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2 = 0$

$2 \cdot 2^{x^{2}}-5 \cdot 2^x+2 = 0$

misalkan $2^x=a$

$2 \cdot a^{2}-5 \cdot a+2 = 0$

Difaktorkan menjadi

$(2a-1)(a-2)=0$

$a = \dfrac12 \vee a=2$

Setelah a sudah dapat, kemudian mencari x

$a = \dfrac12$

$2^x = \dfrac12$

$2^x = 2^{-1}$

$x = -1$

$a = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$

Berarti titiknya (-1,0) dan (1,0) sehingga jaraknya 1 - (-1) = 2

Setelah mendapatkan nilai x nya adalah 2 dan kita juga mendapatkan nilai y nya adalah $\dfrac{2}{3}$ maka kita mendapatkan titiknya adalah $(2, \dfrac{2}{3})$

Nomor 4

Di soalnya ada $f(x)=4^{x+1}$ sedangkan yang diminta soal adalah $f(a+b)$.

Maka kamu perlu mengganti nilai x menjadi a+b. Jadinya seperti ini

$f(x)=4^{x+1}$. Dari soal ini kita dapat mengetahui bahwa

$f(a)=4^{a+1}=4 \cdot 4^a$

$f(b)=4^{b+1}=4 \cdot 4^b$

$f(a+b)=4^{(a+b)+1}$

$f(a+b)=4^a \cdot 4^b \cdot 4^1$

$f(a+b)=(4 \cdot 4^a \cdot) 4^b$

$f(a+b)=f(a) 4^b$

$f(a+b)=f(a) \dfrac14 f(b)$

$f(a+b)= \dfrac14 f(a) \cdot f(b)$

Sekian yang bisa disajikan dalam artikel fungsi eksponen dan grafik fungsi eksponen ini, semoga dapat menjadi referensi kalian dalam belajar.

Jangan lupa share ke temanmu. Karena belajar dengan teman itu lebih enak. Terima kasih