Pada artikel ini, kita akan membahas sifat eksponen itu dan darimana sifat itu muncul.
Sifat Eksponen
Nah, supaya kalian nggak bingung atau malah jadi ngapalin sifat-sifat eksponen itu, di sini kita akan mencoba membagi sifat eksponen itu menjadi beberapa kondisi.
1. Basis adalah 1 atau 0
Berikut adalah sifat eksponen jika basisnya adalah angka 1 atau angka 0 :
- $1^n = 1$
- $0^n = 0$
Kenapa bisa begitu?
Coba deh kamu kalikan 1 x 1 x 1.... gitu terus. Pasti jawabannya 1. Jadi kesimpulannya, mau sebanyak apapun perkalian 1 itu diulang, tetap hasilnya 1.
Sehingga 1 pangkat berapapun pasti hasilnya 1.
Begitu juga dengan 0. Mau pangkat berapa pun (kecuali 0) pasti hasilnya 1.
Oke ada lagi masalah baru. Kenapa kalau $0^0$ hasilnya bukan 0?
Nanti kita bahas ini di kondisi perkalian dan pembagian
2. Penjumlahan dan Pengurangan
Jika ada operasi penjumlahan atau pengurangan dan basis atau bilangan pokoknya sama, maka berlaku seperti ini :
$(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$
Kok bisa gitu?
Jadi gini. Biar mudah, coba bayangin kalau basis dengan eksponennya itu adalah sebuah variabel.
Contohnya seperti ini.$p \cdot b^n + q \cdot b^n = (p + q) \cdot b^n$
Terus coba misalkan $b^n$ menjadi a. Hasilnya menjadi$p \cdot a + q \cdot a$
Ingat sifat distributif dalam matematika? Yang ab + bc = (a+c)b ?
Sifat distributif itulah yang kita pakai sekarang. Sehingga kita mendapatkan bentuknya menjadi :$p a + q a = (p + q)a$
Karena tadi a itu adalah $b^n$, maka kita ubah kembali bentuknya ke awal menjadi :$p \cdot b^n + q \cdot b^n = (p + q) \cdot b^n$
Begitu juga dengan pengurangan.
Keknya untuk pengurangan tidak perlu diulang karena sama saja dengan yang di atas.
3. Perkalian dan Pembagian
Jika ada operasi perkalian dan basisnya sama, maka kamu dapat menjumlahkan pangkatnya.
Jika ada operasi pembagian dan basisnya sama, maka kamu dapat mengurangkan pangkatnya.
Bentuknya seperti ini :
- $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- $\frac {a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Nah, masalahnya kenapa bisa gitu.
Untuk menjawab ini, kita perlu kembali lagi ke pengertian dari eksponen.
Tahukan kalau pangkat itu artinya perkalian yang berulang?Berarti $b^n$ artinya adalah b x b x b x b x b x b .... terus... sebanyak n kali.
Kita ambil contoh $4^5 \times 4^3$. Berarti (4 x 4 x 4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4)
Nah, itukan bisa kita gabungin jadi 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4.
Kita bisa lihat kalau perkalian 4 diulang sebanyak 8 kali. Disini ada yang udah ngeh?
Angka 8 yang kita dapat itu kan berasal dari 5 + 3.
Lah kok bisa?
Jadi angka 8 itu didapat dari jumlah seluruh perulangan yang tadi.
Jadinya ada (5+3) perulangan.
Oke, masuk ke kasus pembagian.
Konsepnya sama seperti perkalian tadi. Tinggal balikin aja.
Langsung kita ambil contoh Kita ambil contoh $\frac{4^5}{4^3}$.
Bentuk itu bisa kita jabarkan menjadi :
$\frac{4 x 4 x 4 x 4 x 4}{4 x 4 x 4}$.
Kamu bisa tuh matiin bilangan yang sama. Sehingga sisanya :
$4 x 4$ atau sama saja dengan $4^2$.
Angka 2 itu kan didapat dari 5 - 3 yang merupakan bilangan eksponen tadi.
Gimana? Udah mengerti?
Konsep ini nanti yang kita pakai untuk memahami materi eksponen dengan kondisi bilangan eksponennya adalah negatif.
4. Bilangan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Jika bilangan eksponen merupakan bilangan bulat yang negatif, maka basisnya akan menjadi kebalikan dari basis awal.
Oke, mungkin kalian bingung.
Biar langsung ngerti kita langsung ambil contoh.
Kita ambil contoh $\frac{4^3}{4^5}$ yang hasilnya $4^{-2}$.
Sama seperti contoh pembagian tadi, kita jabarin dulu. Jadinya :
$\frac{4^3}{4^5} = \frac{4 x 4 x 4}{4 x 4 x 4 x 4 x 4 }$.
Nah, yang sama bisa kamu matikan atau habiskan. Jadinya bentuknnya seperti ini :
$\frac{4^3}{4^5} = 4^{-2} = \frac{1}{4 x 4 }$.
Nah. Sudah ngerti?
Apa hasil dari 0 pangkat 0?
Nah dengan konsep ini, kita bisa menjawab pertanyaan apa hasil $0^0$?
Kalau kamu menjawab 0 silahkan simpan jawabanmu sejenak. Mari kita bahas
Kita ambil contoh $a^0$.
$a^0$ bisa kita ubah menjadi $\frac{a^5}{a^5}$
Ada yang langsung ngeh?
Jadi kalau kamu ganti a dengan akan mendapatkan bentuk \frac{4^3}{4^5}.
Hasil dari $\frac{4^3}{4^5}$ adalah tak terdefinisi. Bukan nol.
Jadi, kalau semua bilangan dipangkat 0?
Kalau kamu mengganti a dengan bilangan selain nol, maka kamu akan selalu mendapatkan nilai 1.
Itulah alasan kenapa semua bilangan kecuali 0 kalau dipangkatkan 0 hasilnya pasti 1.
Oke... Lanjut..
Bilangan Eksponen Berupa Pecahan
Kalau pangkatnya berupa pecahan, maka penyebut dari pecahan eksponen itu akan menjadi akar.
Bentuknya seperti ini.
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$Jadi, jangan salah lagi.
Bilangan Eksponen Berupa Pemangkatan
Kalau bentuknya gini.
$(b^{m})^{n}$ Untuk menyelesaikannya kamu boleh mengubah bentuknya menjadi $(b^{m n}$
Kenapa bisa gitu?
Biar lebih jelas kita ambil contoh lagi $(4^{5})^3$.
Dari $(4^{5})^3$ kita dapat mengartikannya kalau $(4^{5}$ dikalikan berulang sebanyak 3 kali. Kalau dijabarin jadinya gini.
$(4^{5})^3 = 4^{5} \times 4^{5} \times 4^{5}$
Kita kan tadi udah belajar cara mengerjakan kalau kondisinya perkalian.
Tinggal tambahin tuh pangkatnya.
Jadinya kita bisa nulisnya $(4^{5})^3 = 4^{3 \times 5}$
Gimana udah ngerti?
Cukup sekian artikel tentang sifat sifat eksponen, semoga bisa bermanfaat bagi kalian dan menjadi referensi dalam belajar.
Jangan lupa share ke teman kalian ya... Terima kasih....