Bilangan Kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan rill dan bilangan imajiner. Pada artikel ini, kita akan membahas materi Bilangan Kompleks beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Notasi Bilangan Kompleks
Dalam matematika, bilangan kompleks biasanya dinyatakan dengan
$z = a + bi$
- $z$ merupakan bilangan kompleks.
- $a$ merupakan bilangan rill.
- $i$ merupakan bilangan imajiner yang dimana $i^2 = -1$
Beberapa contoh dari bilangan kompleks adalah sebagai berikut
$z = 2 + 3i$
$z = 5 -10i$
$z = 20i$
Operasi Pada Bilangan Kompleks
Secara umum, operasi pada bilangan kompleks hampir sama dengan operasi pada persamaan linear yang dimana kita menambahkan koefisien dari variabel yang sama. Berikut ini akan dibahas operasi operasi bilangan kompleks
Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Kompleks
Konsepnya, jumlahkan suku yang berkoefisien i dan jumlahkan konstantanya. Bentuknya seperti berikut
$z_1 = a + bi$
$z_2 = c + di$
$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) $
$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$
Mari kita bahas contoh soalnya. Misalnya $z_1 = 1 + 2i$ dan $z_2 = 7 – 4i$ maka $z_1 + z_2$ adalah
$z_1 + z_2 = (1 + 2i) + (7 – 4i) $
$z_1 + z_2 = (1 + 7) + (2 – 4)i$
$z_1 + z_2 = 8 – 2i$
Operasi Pengurangan Pada Bilangan Kompleks
Untuk pengurangan, konsepnya sama saja dengan operasi penjumlahan yang sudah kita bahas tadi. Dalam pengurangan, kurangkan konstanta dengan konstanta dan kurangan koefisien i dengan koefisien i. Bentuknya seperti berikut
$z_1 = a + bi$
$z_2 = c + di$
$z_1 + z_2 = (a + bi) - (c + di) $
$z_1 + z_2 = (a - c) + (b - d)i$
Contoh soalnya seperti ini. Misalkan $z_1 = 7 + 3i$ dan $z_2 = 1 – 5i$ maka $z_1 - z_2$ adalah
$z_1 - z_2 = (7 + 3i) - (1 – 5i) $
$z_1 - z_2 = (7 - 1) + (3 – (-5))i$
$z_1 + z_2 = 6 + 8i$
Operasi Perkalian Pada Bilangan Kompleks
Operasi perkalian pada bilangan kompleks juga mirip dengan operasi perkalian yang ada pada persamaan linear satu variabel. Kalau masih bingung, bentuknya itu seperti ini.
$z_1 = a + bi$
$z_2 = c + di$
$z_1 \cdot z_2 = (a + bi) (c + di) $
$z_1 \cdot z_2 = a \cdot c + (a \cdot d)i + (b \cdot c)i + (b \cdot d)(i \cdot i)$
Yang perlu kamu perhatikan di sini adalah $(i \cdot i)$ hasilnya -1. Karena $i^2 = -1$, sehingga hasilnya menjadi
$z_1 \cdot z_2 = a \cdot c + (a \cdot d)i + (b \cdot c)i + (b \cdot d)(i \cdot i)$
$z_1 \cdot z_2 = a \cdot c + (a \cdot d)i + (b \cdot c)i + (b \cdot d)(-1)$
$z_1 \cdot z_2 = a \cdot c + (a \cdot d)i + (b \cdot c)i - (b \cdot d)$
Mari kita coba berurusan dengan angka bukan dengan huruf. Misalkan $z_1 = 10 + 2i$ dan $z_2 = 7 – 3i$, maka $z_1 \cdot z_2$ adalah
$z_1 = 10 + 2i$
$z_2 = 7 + 3i$
$z_1 \cdot z_2 = (10 + 2i) (7 - 3i) $
$z_1 \cdot z_2 = 10 \cdot 7 + (10 \cdot 3i) + (2i \cdot 7i) + (2 \cdot -3)(i \cdot i)$
$z_1 \cdot z_2 = 70 + 30i + 14i + (-6)(-1)$
$z_1 \cdot z_2 = 70 + 30i + 14i + 6$
$z_1 \cdot z_2 = 76 + 44i$
Operasi Pembagian Pada Bilangan Kompleks
Di sini baru terasa lumayan berbeda dibandingkan dengan persamaan linear satu variabel. Untuk menyelesaikan operasi pembagian pada bilangan kompleks, kita bisa mengalikannya dengan akar sekawan atau konjugat.
Sebenarnya akar sekawan mungkin sudah sering kalian bahas. Tapi nanti kita akan apa itu akar sekawan atau konjugat.
Intinya, pada operasi bilangan kompleks ini kita mengalikannya dengan akar sekawan supaya hasilnya lebih sederhana tidak ada bilangan $i$ di penyebut. Mari langsung terjun ke contohnya.
Misalkan $z_1 = 9 + 2i$ dan $z_2 = 2 + i$. Hasil dari $ \dfrac{z_1}{z_2}$ adalah
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{9 + 2i}{2 + i}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{9 + 2i}{2 + i} \cdot \dfrac{2-i}{2-i}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{9 + 2i}{2 + i} \cdot \dfrac{2-i}{2-i}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{18 - 9i +4i -2(i^2)}{4 -2i + 2i -i^2}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{18 - 9i +4i -2(-1)}{4 -2i + 2i –(-1)}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{20 – 5i}{5}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = 4 - i$
Bagaimana? Sudah mengerti?
Mungkin bagi kalian yang tidak mengetahui apa itu akar sekawan menjadi kebingungan bagaimana mencari akar sekawan dari penyebutnya. Oke, mari kita bahas akar sekawan atau konjugat.
Sekawan atau Konjugat Bilangan Kompleks
Misalkan z = a + bi maka akar sekawan nya adalah z = a – bi
Biasanya akar sekawan ini dilambangkan dengan garis lurus di atas variabel. Contohnya seperti
$z = 3 + 4i$ maka $\overline{z} = \overline{3+4i} = 3-4i $
Beberapa contoh lainnya seperti
$z = 1 + 2i$ maka $\overline{z} = 1-2i $
$z = 3i - 2$, ini sama dengan bentuk $z = -2 + 3i$ maka $\overline{z} = 2 – 3i $
Konjugat dari Konjugat
Kan tadi konjugat itu bisa dinotasikan dengan garis lurus diatas. Kalau ada 2 garis lurus di atas itu berarti konjugat dari konjugat contohnya seperti $\overline{\overline{z}}$.
Kebayangkan kalau konjugat di konjugatin lagi?
Hasilnya pasti bentuk semula.
Seperti biasa, pasti akan lebih mudah dipahami dengan contoh. Contohnya $z = 1+i$
Mari kita cari konjugatnya. Berarti
$\overline{z} = \overline{1+i} = 1-i$
Berarti $\overline{z} = 1-i$
Kemudian, hasil konjugat tersebut kita cari lagi konjugatnya. Berarti
$\overline{\overline{z}} = \overline{1-i} = 1+i$
Berarti $\overline{\overline{z}} = 1+i$
Dari sini kita bisa lihat kalau dua kali konjugat, akan kembali ke bentuk awalnya.
Modulus (Nilai Mutlak)
Sekarang kita masuk ke topik modulus atau biasa juga disebut nilai mutlak. Nilai mutlak pada bilangan kompleks sering dituliskan dengan |z|. Dalam bilangan kompleks ini, nilai mutlak di sini berbeda dengan nilai mutlak yang pernah kita bahas.
Misal kita punya bilangan kompleks z dengan z = a+bi. Contoh penulisan modulusnya ini seperti ini.
$|z| = |a+bi|$
Untuk menyelesaikannya, seperti menggunakan phytagoras. Berikut ada penyelesaiannya
$ |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$
Sifat Sifat Nilai Mutlak Bilangan Kompleks
Jika z1 dan z2 adalah bilangan kompleks, maka sifat-sifat berikut berlaku
- $|z_1 + z_2| = |z_1||z_2|$
- $\left |\dfrac{z_1}{z_2}\right | = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$, jika $z_2 \neq 0$
- $|z_1 + z_2| \leqslant |z_1| + |z_2|$
- $|z_1 – z_2| \geqslant |z_1| - |z_2|$
Contoh Soal Nilai Mutlak Bilangan Kompleks
Hitunglah $|-4+2i|$
Oke mari kita selesaikan
$|-4+2i| = \sqrt{-4^2+2^2}$
$|-4+2i| = \sqrt{-16+4}$
$|-4+2i| = \sqrt{20}$
$|-4+2i| = \sqrt{(2^2)5}$
$|-4+2i| = 2\sqrt{5}$
Contoh lain, hitunglah $|3i+4|$
Penyelesaiannya
$|3i+4| = \sqrt{3^2+4^2}$
$|3i+4| = \sqrt{9+16}$
$|3i+4| = \sqrt{25}$
$|3i+4| = 5$