Rangkuman Logika Matematika

Artikel ini berisi rangkuman logika matematika. Artikel ini berisi kalimat, pernyataan, pernyataan majemuk, kuantor, negasi, ekuivalensi, aljabar logika, hingga penarikan kesimpulan

Kalimat

Kalimat terbagi menjadi 2, yaitu :

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka (disebut juga sebagai kalimat non-deklaratif atau kalimat bukan pernyataan) merupakan kalimat yang tidak mempunyai nilai logis atau nilai kebenaran yang pasti.

Contoh kalimat terbuka :

• x adalah 3
• y + 1 > 1
• Kemana kamu selama ini?

Kalimat Tertutup

Kalimat tertutup (disebut juga sebagai kalimat deklaratif atau kalimat pernyataan) merupakan kalimat yang mempunyai nilai logis atau nilai kebenaran yang pasti.

Contoh kalimat tertutup :

• 3 + 1 = 4 (benar)
• Hasil kali 10 dengan 4 adalah 40 (benar)
• Semua bilangan prima adalah ganjil (salah)
• x² - x + 2 < 0

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan gabungan dari 2 pernyataan atau lebih yang dihubungkan dengan operasi logika matematika.

Contoh operasi logika matematika :

• Konjungsi (Λ)
• Disjungsi (V)
• Implikasi (→)
• Biimplikasi (↔)

Nilai kebenaran pernyataan majemuk bergantung pada pernyataan penyusun dan biasanya disusun pada sebuah tabel kebenaran.

Konjungsi (Λ)

• Menyatakan hubungan dan
• Hanya bernilai benar jika kedua pernyataan benar
• Tabel kebenaran

p	q	p Λ q
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Salah
Salah	Salah	Salah

• Contoh
• p : 7 adalah bilangan ganjil (B)
  q : 7 adalah bilangan prima (B)
  p Λ q : 7 adalah bilangan ganjil dan ganjil (B)
  
  
• p : 7 adalah bilangan ganjil (B)
  q : 7 adalah bilangan genap (S)
  p Λ q : 7 adalah bilangan ganjil dan genap (S)
  
  
• p : 7 adalah bilangan bukan prima (S)
  q : 7 adalah bilangan genap (S)
  p Λ q : 7 adalah bilangan bukan prima dan genap (S)

Disjungsi (V)

• Menyatakan hubungan atau
• Hanya bernilai salah jika kedua pernyataan salah
• Tabel kebenaran

p	q	p V q
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Benar
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Salah

• Contoh
• p : 7 adalah bilangan ganjil (B)
  q : 7 adalah bilangan prima (B)
  p Λ q : 7 adalah bilangan ganjil atau ganjil (B)
  
  
• p : 7 adalah bilangan ganjil (B)
  q : 7 adalah bilangan genap (S)
  p Λ q : 7 adalah bilangan ganjil atau genap (B)
  
  
• p : 7 adalah bilangan bukan prima (S)
  q : 7 adalah bilangan genap (S)
  p Λ q : 7 adalah bilangan bukan prima atau genap (S)

Implikasi

• Menyatakan hubungan jika p maka q
• Hanya bernilai salah jika p benar dan q salah
• p disebut sebagai premis/hipotesis, q disebut sebagai konsekuen/kesimpulan
• Tabel kebenaran

p	q	p → q
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Benar

• Contoh
• p : Hari ini mendung (B)
  q : Hari ini akan hujan (B)
  p → q : Jika hari ini mendung, maka hari ini akan hujan (B)
  
  
• p : Hari ini mendung (B)
  q : Hari ini akan hujan (S)
  p → q : Jika hari ini mendung, maka hari ini tidak akan hujan (S)
  
  
• p : Hari ini tidak mendung (S)
  q : Hari ini akan hujan (B)
  p → q : Jika hari ini tidak mendung, maka hari ini akan hujan (B)
  
  
• p : Hari ini tidak mendung (S)
  q : Hari ini tidak akan hujan (S)
  p → q : Jika hari ini tidak mendung, maka hari ini tidak akan hujan (B)

Biimplikasi

• Menyatakan hubungan jika p maka q
• Bernilai benar jika salah satu pernyataan benar
• Tabel kebenaran

p	q	p → q
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Benar
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Benar

• Contoh
• p : Suhu bumi meningkat (B)
  q : Es kutub akan mencair (B)
  p → q : Jika suhu bumi meningkat, maka es kutub akan mencair (B)
  
  
• p : Suhu bumi meningkat (B)
  q : Es kutub tidak akan mencair (S)
  p → q : Jika suhu bumi meningkat, maka es kutub tidak akan mencair (S)
  
  
• p : Suhu bumi meningkat (S)
  q : Es kutub akan mencair (B)
  p → q : Jika suhu bumi tidak meningkat, maka es kutub akan mencair (S)
  
  
• p : Suhu bumi tidak meningkat (S)
  q : Es kutub tidak akan mencair (S)
  p → q : Jika suhu bumi tidak meningkat, maka es kutub tidak akan mencair (B)

Negasi (~)

• Merupakan ingkaran atau kebalikan dari suatu pernyataan
• Tabel Kebenaran

p	~p
Benar	Salah
Salah	Benar

• Contoh
• p : Suhu bumi meningkat (B)
  ~p : Suhu bumi tidak meningkat (S)

Kuantor

Digunakan untuk menyatakan apakah suatu pernyataan itu berlaku untuk semua atau tidak.

Kuantor Universal (∀)

• Menyatakan semua atau setiap
• Bernilai benar jika tidak ditemukan nilai yang membuat p salah
• Contoh
• Semua kuadrat bilangan real merupakan bilangan real positif (S)
• Semua kuadrat bilangan real merupakan bilangan real positif atau nol (B)

Kuantor Eksistensial (∃)

• Menyatakan terdapat, beberapa, atau sebagian dalam pernyataan
• Bernilai benar jika ditemukan nilai yang membuat p benar
• Contoh
• Ada mahasiswa Indonesia yang memiliki usaha sendiri (B)
• Tidak ada mahasiswa Indonesia yang memiliki usaha sendiri (S)

Ekuivalensi

• Ekuivalensi dua pernyataan majemuk dapat dicari dengan menggunakan tabel kebenaran dan aljabar logika matematika yang dilambangkan dengan ≡
• Jenis tabel kebenaran
1. Tautologi, hasil akhirnya bernilai benar semua
2. Kontradiksi, hasil akhirnya bernilai salah semua
3. Kontingensi,  hasil akhirnya terdapat nilai benar dan salah

Aljabar Logika Matematika

Aljabar atau sifat dalam operasi logika matematika:

Idempoten

• p Λ p ≡ p
• p V p ≡ p

Komplemen

• p Λ ~p ≡ (S)
• p V ~p ≡ (B)

Absorpsi

• p Λ (p V q) ≡ p
• p V (p Λ q) ≡ p

Involusi

• ~(~p) ≡ p

Identitas

• p Λ (B) ≡ p
• p V (B) ≡ (B)
• p Λ (S) ≡ (S)
• p V (S) ≡ p

Komutatif

• p Λ q ≡ q Λ p
• p V q ≡ q V p

Asosiatif

• p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
• p V (q V r) ≡ (p V q) V r

Distributif

• p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
• p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

Implikasi

• p → q ≡ ~p V q
• p → q ≡ ~q → ~p
• q → p ≡ ~p → ~q
• p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q Λ p)

De Morgan

• ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
• ~(p → q) ≡ p Λ ~q
• ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
• ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q
• ~(∃.p) ≡ ∀.(~p)
• ~(∀.p) ≡ ∃.(~p)

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan jika p Λ q → c bersifat tautologi (nilai akhirnya benar semua). Terdapat 3 rumus

logis dalam penarikan kesimpulan :

• Modus Ponen
• Modus Tollen
• Silogisme

Modus Ponen

Jika p terjadi maka q terjadi, dan p terjadi lagi, maka dipastikan q terjadi.

Premis 1 : p → q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

Modus Tollen

Jika p terjadi maka q terjadi, namun q tidak terjadi, maka dipastikan p tidak terjadi.

Premis 1 : p → q

Premis 2 : ~q

Kesimpulan : ~p

Silogisme

Jika p terjadi maka q terjadi, dan jika q terjadi maka r terjadi, maka dipastikan jika p terjadi maka r terjadi juga.

Premis 1 : p → q

Premis 2 : q → r

Kesimpulan : p → r