Logika Matematika - Pengertian, Kalimat, Operasi, Hukum, Contoh, dan Contoh Soal

Logika matematika merupakan salah satu materi yang dapat melatih kamu untuk berfikir sesuai dengan aturan. Di sini, kita akan belajar mulai dari pengertian matematika, kalimat dalam logika matematika, operasi, hukum, hingga contohnya. Semoga penjelasannya dapat dengan mudah dimengerti.

Pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah suatu cabang ilmu yang mengandung kajian logika secara matematis.

Mungkin dalam kehidupan sehari-hari kalian udah nggak asing lagi dengan yang namanya logika ini.

Logika ini bisa dibilang seperti aturan dalam berfikir.

Materi logika matematika ini penting untuk dipelajari karena dengan mempelajari ini, kalian juga berlatih untuk berfikir "sesuai aturan".

Kalimat dalam Logika Matematika

Terdapat 2 jenis pernyataan dalam logika matematika, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup.

Apa itu kalimat terbuka? Apa itu kalimat tertutup?

Singkatnya, kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum bisa kita tentukan kebenarannya.

Sedangkan, kalimat tertutup atau pernyataan merupakan kalimat yang bisa kita tentukan kebenarannya.

Kalimat terbuka dan tertutup sudah kita bahas di artikel Kalimat Terbuka dan Tertutup.

Di luar dari kalimat terbuka dan tertutup, terdapat pernyataan majemuk.

Pernyataan majemuk merupakan dua atau lebih kalimat tertutup yang digabungkan dengan operasi logika matematika.

Operasi Logika Matematika

Seperti yang dibahas tadi, operasi logika matematika digunakan untuk menggabungkan dua atau lebih pernyataan.

Operasi-operasi dalam logika matematika yaitu, konjungsi , disjungsi , implikasi , dan implikasi.

Dan setiap operasi tersebut memiliki tabel kebenarannya masing-masing.

Apa itu tabel kebenaran?

Singkatnya tabel kebenaran adalah tabel hasil dari suatu operasi logika matematika.

Mari kita bahas satu per satu.

Konjungsi (^)

Konjungsi adalah operasi logika matematika yang menyatakan hubungan " dan".

Contohnya seperti

A dan B

Kalimat majemuk di atas menggunakan operasi konjungsi karena menggunakan kata 'dan'.

Keterangan:

A dan B merupakan suatu kalimat tertutup.

Simbol dari konjungsi adalah ^

Jadi kalimat A ^ B bisa diartikan dengan A dan B.

Tabel Kebenaran Konjungsi Logika Matematika

A	B	A ^ B
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Salah
Salah	Salah	Salah

Jika dilihat secara keseluruhan, kita bisa menyimpulkan bahwa jika salah satu pernyataan saja salah, maka hasil konjungsi juga menjadi salah.

Contohnya kita mempunyai pernyataan A dan B seperti berikut

A: 15 adalah bilangan ganjil (benar)

B: 15 adalah bilangan prima (salah)

A ^ B : 15 adalah bilangan ganjil dan prima (salah)

Disjungsi (V)

Disjungsi adalah operasi logika matematika yang menyatakan hubungan " atau".

Contohnya seperti

A atau B

Kalimat majemuk di atas menggunakan operasi disjungsi karena menggunakan kata 'atau'.

Keterangan:

A dan B merupakan suatu kalimat tertutup.

Simbol dari disjungsi adalah v

Jadi kalimat A v B bisa diartikan dengan A atau B.

Tabel Kebenaran Disjungsi

A	B	A ^ B
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Benar
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Salah

Jika dilihat secara keseluruhan, disjungsi hanya akan salah ketika salah satu pernyataan salah.

Jadi, jika salah satu pernyataan benar, hasil disjungsi sudah pasti benar juga.

Contohnya kita mempunyai pernyataan A dan B seperti berikut

A: 15 adalah bilangan ganjil (benar)

B: 15 adalah bilangan prima (salah)

A v B : 15 adalah bilangan ganjil atau prima (benar)

Implikasi

Implikasi adalah operasi logika matematika yang menyatakan hubungan " jika maka".

Contohnya seperti

A → B

Kalimat majemuk di atas menggunakan operasi implikasi bisa dibaca Jika A maka B atau bisa juga B jika A

Dalam implikasi, A disebut sebagai penyebab atau anteseden sedangkan B disebut sebagai kesimpulan atau konsekuen

Bisa dilihat dari contoh di atas, simbol dari implikasi adalah →

Tabel Kebenaran Implikasi Logika Matematika

A	B	A → B
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Benar

Bisa dilihat dari tabel di atas, implikasi hanya akan menghasilkan salah jika penyebab (anteseden) bernilai benar sedangkan kesimpulan (konsekuen) bernilai salah.

Contohnya di daerah kamu mendung dan akan turun hujan. Dari kejadian ini, kita bisa membuat 2 pernyataan penyebab dan kesimpulannya.

A (penyebab) : Hari ini mendung (benar)

B (kesimpulan) : Hari ini akan hujan (benar)

A → B : Jika hari ini hujan, maka hari ini akan turun hujan (benar)

Kita coba buat dengan kesimpulan/konsekuen yang salah

A (penyebab) : Hari ini mendung (benar)

B (kesimpulan) : Hari ini tidak akan hujan (salah)

A → B : Jika hari ini hujan, maka hari ini tidak akan turun hujan (salah)

Biimplikasi (↔)

Dari namanya bi implikasi kita dapat mengartikannya secara kasar menjadi implikasi 2 arah.

Contohnya seperti

A ↔ B

Kalimat majemuk di atas menggunakan operasi implikasi bisa dibaca Jika A maka B dan Jika B maka A atau bisa juga B jika dan hanya jika A

Dalam biimplikasi, baik A maupun B, bertindak sebagai penyebab dan juga kesimpulan.

Simbol dari biimplikasi adalah ↔

Tabel Kebenaran Biimplikasi Logika Matematika

A	B	A → B
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Salah
Salah	Salah	Benar

Dari tabel di atas, kita bisa melihat kalau biimplikasi hanya bernilai benar jika A dan B sama sama benar atau sama sama salah.

Contohnya di daerah kamu mendung dan turun hujan. Dari kejadian ini, kita membuat 2 pernyataan sebagai berikut

A : Hari ini mendung (benar)

B : Hari ini akan hujan (benar)

A ↔B : Jika hari ini mendung, maka hari ini turun hujan dan jika hari ini turun hujan, maka hari ini juga mendung

Kita coba buat dengan A dan B yang salah

A : Hari ini tidak mendung (benar)

B : Hari ini tidak akan hujan (salah)

A ↔B : Hari ini tidak akan hujan jika dan hanya jika hari ini tidak mendung (benar)

Kita coba salah satu pernyataan yang benar

A : Hari ini mendung (benar)

B : Hari ini tidak akan hujan (salah)

A ↔B : Hari ini tidak akan hujan jika dan hanya jika hari ini mendung (salah)

Ingkaran / Negasi (~)

Ingkaran atau bisa disebut juga dengan negasi atau penyangkalan.

Ingkaran merupakan bentuk negasi dari pernyataan atau penyangkalan dari pernyataan yang ada.

Pernyataan yang benar jika di negasi menjadi pernyataan yang salah. Begitu juga sebaliknya.

Bisa dibilang ingkaran ini membenarkan yang salah dan menyalahkan yang benar. Wess

Tabel Kebenaran Ingkaran

P	~ P
Benar	Salah
Salah	Benar

Contohnya seperti berikut

P : 17 Agustus diperingati sebagai hari kemerdekaan Indonesia (Benar)

~P : 17 Agustus tidak diperingati sebagai hari kemerdekaan Indonesia (Salah)

P : Air berwujud padat (salah)

~P : Air tidak berwujud padat (benar)

Hukum Logika

Setelah mengetahui konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan negasi, sekarang kita akan belajar tentang hukum logika.

Sebelum melihat hukum-hukum logika, kamu harus tahu dulu kalau ≡ artinya adalah " ekuivalen".

Ekuivalen bisa diartikan sepadan , mempunyai arti yang sama atau sebanding.

Berikut adalah hukum logika matematika

• Hukum komutatif
  • p ∧ q ≡ q ∧ p
  • p ∨ q ≡ q ∨ p
• Hukum asosiatif
  • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
  • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
• Hukum distributif
  • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
  • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
• Hukum identitas
  • p ∧ B ≡ p
  • p ∨ S ≡ p
• Hukum ikatan
  • p ∧ S ≡ S
  • p ∨ B ≡ B
• Hukum negasi
  • p ∧ ~p ≡ S
  • p ∨ ~p ≡ B
• Hukum negasi ganda
  • ~(~p) ≡ p
• Hukum idempotent
  • p ∧ p ≡ p
  • p ∨ p ≡ p
• Hukum De Morgan
  • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
  • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
• Hukum penyerapan
  • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
  • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• Hukum Implikasi
  • p → q ≡ ~p ∨ q
• Hukum Biimplikasi
  • p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Contoh Soal

1. Tentukan apakah kalimat berikut termasuk kalimat terbuka atau tertutup

   • 3x + 4 = 25
   • 3 > -1
   • X adalah bilangan yang habis dibagi 3
   • Monumen Nasional terletak di Jakarta

2. jika A bernilai benar dan B bernilai Salah, tentukan hasil dari operasi berikut

   • A ∧ B
   • A ∨ B
   • ~A
   • A ∧ (A ∨ B)
   • ~A ∨ B
   • A → B
   • A ↔ B

Pembahasan Contoh Soal

Nomor 1

Jadi di soal ini kita disuruh untuk menentukan kalimat apakah terbuka atau tertutup.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum ditentukan benar atau salah. Sedangkan kalimat tertutup merupakan kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah

• 3x + 4 = 25
  Kalimat ini merupakan kalimat terbuka, karena kita tidak tahu berapa x nya. Kalau x nya 1, kalimat tersebut salah, kalau x bernilai 7 kalimat tersebut benar. Tapi, karena kita nggak tahu berapa x nya, maka kalimat tersebut adalah kalimat terbuka.

• 3 > -1
  Karena kita tahu kalau 3 itu lebih besar daripada -1, berarti kita dapat mengatakan bahwa kalimat tersebut adalah kalimat yang benar. Karena kita dapat menentukan kalimat tersebut adalah benar, maka kalimat tersebut adalah kalimat tertutup.

• X adalah bilangan yang habis dibagi 3
  Yap, sama seperti yang tadi, karena kita nggak tahu x nya berapa kita tidak bisa menyatakan apakah kalimat tersebut benar atau tidak. Karena itu, kalimat ini adalah kalimat terbuka

• Monumen Nasional terletak di Jakarta
  Kita tahu kalau monumen nasional itu ada di Jakarta. Maka kalimat ini adalah kalimat yang benar. karena kita bisa menentukannya, maka kalimat ini merupakan kalimat tertutup.

Nomor 2

Diketahui pada soal 2 A bernilai benar dan B bernilai salah. Untuk menjawab ini, kita bisa melihat tabel kebenaran.

• A ∧ B
  Pada operasi konjungsi, ketika salah satu komponen saja salah, maka hasilnya adalah salah. Maka kalimat ini bernilai salah.

• A ∨ B
  Pada operasi disjungsi, ketika salah satu komponen saja benar, maka hasilnya adalah benar. Maka kalimat ini bernilai benar.

• ~A
  A bernilai benar. Negasi dari benar adalah salah. Maka kalimat ini bernilai salah.

• A ∧ (A ∨ B)
  Ketika melihat soal seperti ini, kita harus mengerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu. A v B hasilnya adalah benar. Berarti sekarang kita mencari A ∧ (Benar). Karena A benar dikonjungsikan dengan hasil dari dalam kurung yang bernilai benar, maka kalimat ini bernilai benar.

• ~A ∨ B
  Pada soal ini, kita perlu negasi A terlebih dahulu. Karena A benar, negasinya adalah salah. Berarti Salah ∨ Salah. Hasilnya adalah salah.

• A → B
  Operasi ini merupakan operasi implikasi. Untuk melihat hasilnya bisa melalui tabel langsung. Sesuai dengan tabel kebenaran, maka kalimat ini bernilai salah.

• A ↔ B
  Operasi merupakan operasi biimplikasi. hasilnya bisa dilihat dari tabel langsung. Hasil dari kalimat ini adalah salah.

Rangkuman

• Terdapat kalimat terbuka dan tertutup
• kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui benar atau salahnya
• Kalimat tertutup (pernyataan) adalah kalimat yang telah diketahui benar atau salahnya
• Kalimat majemuk merupakan gabungan dari 2 atau lebih pernyataan / kalimat tertutup
• Operasi dalam kalimat majemuk ada konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan ingkaran / negasi
• Konjungsi hanya akan bernilai benar ketika semua pernyataan benar
• Disjungsi hanya akan bernilai salah ketika semua pernyataan salah
• Implikasi hanya akan bernilai salah ketika penyebab / anteseden bernilai benar dan kesimpulan / konsekuen bernilai salah
• Biimplikasi hanya akan bernilai benar ketika semua pernyataan sama-sama benar atau sama-sama salah
• Ingkaran atau negasi menyalahkan yang benar dan membenarkan yang salah